Laplace

L’applicazione del metodo di Laplace ai circuiti elettrici permette di passare da un’analisi nel dominio del tempo (t) a una nel dominio della frequenza complessa o dominio di Laplace (s). Questo passaggio consente di trasformare le equazioni integro-differenziali in semplici equazioni algebriche.

^{La trasformata di Laplace, cos’? e come si calcola – Andrea Minini}

Di fronte a un problema nel dominio del tempo, la risoluzione diretta implicherebbe l’uso di equazioni differenziali complesse. Utilizzando la trasformata di Laplace, le equazioni di partenza vengono convertite in espressioni più semplici da gestire. Lo studio avviene quindi nel dominio di Laplace tramite l’operatore $\mathcal{L}$ (trasformata di Laplace) e la variabile complessa s.

Portare un circuito nel dominio di Laplace significa trasformare anche i singoli componenti che lo costituiscono:

I resistori (R) rimango invariati (R)

Le induttanze (L) nel dominio di Laplace diventano $sL$

Le capacità (C) nel dominio di Laplace diventano $\frac{1}{sC}$

Di conseguenza, anche le sorgenti di alimentazione devono essere trasformate:

^{Le trasformate di Laplace tipiche – Andrea Minini}→(questo è un link di approfondimento che porta ad un sito fatto molto bene per approfondire l’argomento in modo più specifico)

Gradino di ampiezza unitario u(t) che vale 0 per 0<t, 1 per $t>=0$ e nel dominio di Laplace diventerà $\frac {1}{s}$

Può essere associato all’accensione di un alimentatore o alla chiusura di un interruttore, descrivendo i fenomeni che iniziano in un determinato momento.

Impulso di dirac:

^{Le trasformate di Laplace tipiche – Andrea Minini}

rappresenta un segnale che raggiunge un valore infinito in un istante infinitesimo e poi cessa. Se l’impulso è unitario, la sua trasformata di Laplace è uguale a 1. Se avesse un’ampiezza K, nel dominio di Laplace sarebbe uguale al valore della costante K.

Rampa unitaria:

^{Le trasformate di Laplace tipiche – Andrea Minini}

Un segnale che aumenta al passare del tempo, varrà 0 per $t<0$ e incrementa linearmente con pendenza 1 per tempi positivi. nel dominio del tempo è indicata come $r(t)=t *u(t)$ e nel dominio di Laplace diventera $ℒ[r(t)]=\frac{1}{s^2}.$

Esistono molti altri segnali e trasformate notevoli; per chi volesse approfondire ulteriormente l’argomento, è possibile consultare le tabelle delle trasformate di Laplace tipiche.

Le trasformate di Laplace tipiche – Andrea Minini